Option Explicit

Dim App     As Application
Dim wbLog   As Workbook
Dim nRow    As Long

Private Sub Workbook_Open()
       Dim wbName$
       Set App = New Application
       With App
           .Visible = False
           wbName = ThisWorkbook.Name
           nRow = InStrRev(wbName, ".")
           If nRow Then wbName = Left$(wbName, nRow - 1)
           Set wbLog = .Workbooks.Open("C:\Users\User\Downloads\" & wbName & "_Log.xlsx")
           With wbLog.Worksheets(1)
               nRow = .Range("A60000").End(xlUp).Row + 1   ' ищем последнюю заполненную строчку в логах
               .Cells(nRow, 1) = Environ("USERNAME")       ' заносим имя пользователя и дату-время входа в файл
               .Cells(nRow, 2) = Now
           End With
       End With
End Sub

Private Sub Workbook_BeforeClose(Cancel As Boolean)
       With wbLog
           .Worksheets(1).Cells(nRow, 3) = Now ' заносим дату-время выхода из файла
           .Close True
       End With
       App.Quit
End Sub